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Come vedete sono poche e semplici regole di normale educazione . In qualità di gestore del blog farò in modo che vengano rispettate.
Buona lettura e confronto.
Pier Giorgio Gaiardoni
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raccontare
In geometria piana, si dicono tassellature (talvolta tassellazioni o pavimentazioni) i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all'infinito senza sovrapposizioni.
Tali figure geometriche, (dette appunto "tasselli"), sono spesso poligoni regolari o no, ma possono anche avere lati curvilinei, o non avere alcun vertice. L'unica condizione che solitamente si pone è che siano connessi, anzi semplicemente connessi (ovvero che siano un pezzo unico e non abbiano buchi). In matematica sono state molto studiate anche le tassellazione dello spazio, dove i tasselli sono solidi.
Si dicono regolari (o periodiche) quelle tassellature che rispettano la seguente regola: esistono due traslazioni indipendenti che mandano la tassellatura in sé stessa (con "indipendenti" si intende che le due traslazioni non devono avere la stessa direzione).
Tale condizione viene solitamente detta regola del parallelogramma perché se chiamiamo i vettori associati alle due più piccole traslazioni che mandano la tassellatura in sé ci accorgiamo che il parallelogramma avente come lati e ( che viene detto parallelogramma di base) genera la tassellatura mediante le due traslazioni (in altre parole, possiamo ridisegnare tutta la tassellatura replicando il parallelogramma di base e senza mai doverlo ruotare o "rovesciare").
Sebbene tale condizione possa sembrare molto restrittiva, è rispettata da quasi tutte le pavimentazioni a cui si possa pensare. Il motivo per cui risulta utile è che permette di confrontare tra di loro tassellature all'apparenza totalmente diverse.
La sagoma del parallelogramma di base non è però il modo più completo per classificare le tassellature regolari; conoscere le misure dei suoi angoli e dei suoi lati infatti non ci permette di stabilire con certezza le caratteristiche geometriche della nostra tassellatura: potrebbe accadere che ci sia una porzione di piano più piccola del parallelogramma (più precisamente, una porzione del parallelogramma) con la quale sia possibile ricostruire tutta la tassellatura (non più con sole traslazioni, ma utilizzando anche altre isometrie): il disegno minimo. Diremo quindi che due tassellature appartengono alla stessa classe se:
i rispettivi disegni minimi hanno la stessa sagoma,
le trasformazioni che bisogna applicare ai disegni minimi per ottenere ognuna delle due tassellature sono le stesse.
Questa tassellatura non rispetta la condizione dei vertici identici.
Quando diciamo che ne esistono esattamente 11, non ci riferiamo più alle classi, ma proprio alla forma degli spigoli: stiamo dicendo che date 12 tali tassellature ce ne saranno sempre almeno 2 tali che, scalandone e colorandone opportunamente una, essa diventi identica all'altra.
In particolare, è piuttosto facile osservare che se imponiamo l'utilizzo di un solo poligono regolare per tutta la tassellatura, abbiamo 3 configurazioni possibili; infatti la misura degli angoli del tassello dovrà essere un divisore intero di 360, e quindi andranno bene solo il triangolo equilatero , il quadrato e l'esagono regolare :
Come già detto, molte delle tassellature a cui viene da pensare sono regolari. Altre tassellature, pur non essendo regolari, vengono mandate in sé stesse da particolari traslazioni (è il caso ad esempio di tassellature composte da bande di lunghezza infinita una accanto all'altra che siano ricoperte ognuna da una stessa tassellatura regolare ma disposte sfalsate tra di loro).
È possibile però realizzare, ed è un risultato a cui i matematici sono arrivati in tempi relativamente recenti, anche tassellature aperiodiche, ovvero tali che nessuna traslazione le mandi in sé. È il caso ad esempio della famosa tassellatura di penrose.
Abbiamo visto che l'unico requisito richiesto a una forma geometrica per essere un "buon" tassello è essere connessa, anzi semplicemente connessa. Il motivo è semplice: supporre che un tassello non abbia tale caratteristica non aumenta sostanzialmente le possibili configurazioni, quindi non è geometricamente interessante.
Infatti se un tassello non sarà connesso sarà diviso in due parti, che potranno essere considerate come due tasselli separati.
Se un tassello invece è un pezzo unico ma presenta un buco dovrà essere riempito con uno o più tasselli, ma questo riempimento diventa un problema completamente indipendente dalla tassellatura intorno.
Le tassellature nell'arte figurativa, astratta e nell'architettura sono da sempre un modo di unire estetica, eleganza e semplicità, e sono state utilizzate in miriadi di contesti; riportiamo alcuni esempi significativi:
Non è un caso che le tassellature vengano chiamate anche pavimentazioni: in effetti ogni possibile modo di coprire un pavimento con delle mattonelle di forma data non è altro che una tassellatura. È per questo che le tassellature sono necessariamente presenti in grandissima parte degli edifici realizzati nel corso della storia. In particolare tassellature colorate sono state spesso viste come un espediente per vivacizzare un pavimento, o una parete.
Famosissime sono le tassellature che ricoprono molte pareti del complesso de l'Alhambra, a Granada, frutto dell'arte e dei gusti arabi della dinastia nasride: gli arabi sono sempre stati grandi studiosi di matematica e geometria, e tali conoscenze pervadono anche la loro arte, tanto che è tuttora comunemente usato, per indicare motivi decorativi geometrici, il termine arabesco
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